Interpolazione di Hermite

E' un caso particolare di polinomio osculatore.
Dati $n+1$ nodi $x_0, x_1, ...,x_n$, il polinomio interpolante di Hermite di grado $2n+1$ è tale che soddisfa:
$p_H=f(x_i), i=0,...,n$ ($n+1$ condizioni)
$p^{'}_H=f^{'}(x_i), i=0,...,n$ ($n+1$ condizioni)
Abbiamo $2n+2$ condizioni.

Il polinomio di Hermite può essere rappresentato usando gli $L_j(x)$ di Lagrange:
$p_H(x)=\sum\limits_{j=0}^n[U_j(x)f(x_j)+V_j(x)f^{'}(x)]$  dove
per $j =0,...,n$

• $U_j(x)=L^2_j(x)[1-2L^{'}_j(x_j)(x-x_j)]$
• $V_j(x)=L^2_j(x)(x-x_j)$

Resto nell'interpolazione di Hermite

Siano $a=\min\limits_{0 \leq i \leq n}\{x_i\}, b=\max\limits_{0\leq i\leq n}\{x_i\}$ e sia $f(x) \in C^{2n+2}([a,b])$.
Allora $\exists\xi\in]a,b[$ tale che il resto del polinomio di Hermite è dato da $r(x)=\pi_{n+1}^2(x)\frac{f^{2n+2}(\xi)}{(2n+2)!}$