Nodi di Chebyshev

Osservando i polinomi interpolanti la funzione di Runge su nodi equidistanti si vede che l'errore di interpolazione è minore al centro dell'intervallo [-5,5], mentre cresce, al crescere di n,agli estremi dell'intervallo [-5, 5]. Ci suggerisce di interpolare con una distribuzione di nodi non equidistanti. Una buona scelta è quella dei nodi di Chebyshev:
$x_i=\frac{a+b}{2}-\frac{b-a}{2}cos[\frac{(2i+1)}{2(n+1)}\pi], i=0,1,...,n$

Questa scelta è quella che nell'espressione del resto $r(x)$, minimizza il $\pi_{n+1}(x)$ .
Per concludere, la "bontà" dell'interpolazione, dipende da:

1. il numero dei nodi (non ha senso costruire polinomi interpolatori per $n \geq 7$)
2. la distribuzione dei nodi

Polinomi osculatori

// $f^{(0)}(x_i) = {p^{(0)}}_n(x_i), i=0,...,n$

I polinomi osculatori sono polinomi che nei nodi $x_i, i=0,...,n$ soddisfano condizioni che coinvolgono la funzione interpolanda $f(x)$  e le sue derivate

$p^{(k)}(x_i)=f^{(k)}(x_i), i=0,...n, k=0,...n$

Prendere n ci garantisce che $\exists!$ il polinomio osculatore.

Il grado del polinomio osculatore è pari al numero delle condizioni di interpolazione meno uno.

Condizione sufficiente per l'$\exists!$ del polinomio osculatore

Il polinomio osculatore $\exists!$ quando solo se, quando si impone una condizione di interpolazione sulla $k$-esima derivata in un nodo $x_j$ fissato, $p^{(k)}(x_j)=f^{(k)}(x_j)$ allora vengono imposte anche tutte le condizioni di interpolazione sule derivata di ordine inferiore a $k$, cioè $0,1,...,k-1$ sullo stesso nodo $x_j$.