Metodo di Gauss Seidel

$M = D-B$
$N = C$
$B_{GS} = M^{-1}N=(D-B)^{-1}C$
$d=M^{-1}b=(D-B)^{-1}b$

Poiché in generale, non è sempre agevole e può risultare computazionalmente oneroso valutare l'inversa della matrice $(D-B)$ per valutare la matrice di iterazione $B_{GS}=(D-B)^{-1}C$ conviene considerare la seguente forma equivalente:

$x^{(k)} = [(D-B)^{-1}C]x^{(k-1)}+b$
$Dx^{(k)}-Bx^{(k)}=Cx^{(k-1)}+b$
$Dx^{(k)}=Bx^{(k)}+Cx^{(k-1)}+b$
$x^{(k)}=D^{-1}Bx^{(k)}+D^{-1}Cx^{(k-1)}+D^{-1}b$ (molto simile a Jacobi)

Tale espressione può essere interpretata come l'iterazione di Jacobi nella quale allo step $k$-esimo, per calcolare la componente $x_i^{(k)}$ si usano le componenti già calcolate nello stesso step, $x_j^{(k)}, j=1,...,i-1$ e le componenti $x_j^{(k-1)}, j=i+1,...,n$ dello step precedente cioè il $(k-1)$-simo. Per tale motivo il metodo di Gauss-Seidel è detto "Metodo degli spostamenti successivi".

[... mancano i calcoli per ricavarsi le componenti ]

Quindi, in termini di componenti:

$x_i^{(k)} = \frac{1}{a_{ii}}[b_i-(\sum\limits_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k)}+\sum\limits_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{(k-1)})]$ per $i=1,2,...,n$ e $k=1,..,n$