Interpolazione polinomiale

Il problema dell'interpolazione

Data una funzione $f(x)$ definitiva su un intervallo $[a,b]$ di cui sono noti solo i valori $y_i=f(x_i)$ che essa assume in corrispondenza di punti (detti nodi dell'interpolazione) $x_i\in[a,b],i=0,1,...,n$ e fissato un insieme di funzioni $\varphi_j(x),j=0,1,...,n$ definita su $[a,b]$ e ivi linearmente indipendenti, il problema dell'interpolazione consiste nel determinare la funzione

$\hat{f}(x)=\sum\limits_{j=0}^n\alpha_j\varphi_j(x)$ (detta funzione interpolante) tale che

$\hat{f}(x_i)=f(x_i),i=0,1,...,n$.
E' importante scegliere la classe di funzioni interpolanti $\{\varphi_j(x)\}_{j=0}^n$ più adeguato al problema in esame. Le classi di funzioni più usate sono:

1. $\mathbb{P}_n=\{p_n(x)=\sum\limits_{i=0}^na_ix^i=a_0+a_1x^1+a_2x^2+...+a_nx^n\}$
   ovvero la classe dei polinomi algebrici di grado n. Tale classe è opportuna per approssimare funzioni continue e limitate in intervalli chiusi. La determinazione di un elemento $p_n(x)\in \mathbb{P}_n$ richiede di fissare $n+1$ coefficienti $a_0, a_1, ..., a_n$
2. $\mathbb{T}_n=\{t_n(x)=a_0+\sum[a_k(cos(kx))+b_k(sen(kx))]\}$
   classe di polinomi trigonometrici di grado $n$. Tale classe è valida per $f(x)$ periodiche e continue, per determinare un $t_n \in \mathbb{T}_n$ è necessario determinare $2n+1$ coefficienti $a_0, a_1,..., a_n, b_1, b_2,..., b_n$
3. $\mathbb{R}_{n, d}=\{p_n(x)/p_d(x), p_n \in\mathbb{P}_n, p_d\in\mathbb{P}_d\}$
   classe di funzioni razionali. Indicata nel caso in cui $f(x)$ presenti dello singolarità o sia non periodica in intervalli infiniti
4. $\mathbb{E}_n$
5. $\mathbb{S}_n$