Matrici definite in segno

Sia $A \in \mathbb{R}^{nxn}$ una matrice simmetrica ($A=A^T, a_{ij}=a_{ji}$) e $x \in \mathbb{R}^n$, allora $\alpha = x^TAx$
$\alpha = x^TAx$ è uno scalare, cioè $\alpha \in \mathbb{R}$.

Definizione.

Se $A \in \mathbb{R}^{nxn}$ è una matrice simmetrica e $\forall x \in \mathbb{R}^n, x \neq 0$ il numero reale $\alpha = x^TAx$ mantiene lo stesso segno, la matrice $A$ si dice definita in segno.
In particolare:

• se $\alpha = x^TAx > 0$, $A$ è detta definita positiva
• se $\alpha = x^TAx \geq 0$, $A$ è detta semidefinita positiva
• se $\alpha = x^TAx < 0$, $A$ è detta definita negativa
• se $\alpha = x^TAx \leq 0$, $A$ è detta semidefinita negativa