Norme Matriciali

Definizione.

Una norma matriciale è una funzione $||.||: M_n(\mathbb{C}) \rightarrow \mathbb{R}_+ \cup \{ 0 \}$ che soddisfa le seguenti proprietà:

1. $||A|| \geq 0$ e $||A||=0 \Leftrightarrow A=\Omega, \forall A \in M_n$
2. $|| \alpha A || = | \alpha | ||A||, \forall a \in \mathbb{C}$ e $\forall A \in M_n $
3. $||A+B|| \leq ||A|| + ||B||, \forall A,B \in M_n$
4. $||AB|| \leq ||A||||B||, \forall A,B \in M_n$

Definizione.

La norma matriciale definita da $||A||_M = \max_{||x||=1} ||A X ||_v$ viene detta Norma Indotta.
Le 3 norme vettoriali $||.||_1, ||.||_2, ||.||_\infty$ inducono delle corrispondenti norme matriciali

1. norma 1 (somma più alta tra le somme degli elementi di una colonna): $||A||_1 = \max\limits_{1 \leq j \leq n } \sum\limits_{i=1}^n |a_{ij}|$
2. norma 2: $||A||_2= \sqrt{ \rho (A^t A)}$
3. norma $\infty$ (somma più alta tra le somme degli elementi di una riga): $||A||_\infty = \max\limits_{1 \leq i \leq n} \{ \sum\limits_{j=1}^n |a_{ij}| \}$