Matrice a predominanza diagonale

Definizione.

Una matrice $A \in \mathbb{R}^{nxn}$ si dice:

• a predominanza diagonale in senso stretto (o forte) per righe se:
  $|a_{ii}|>\sum\limits_{j=1, i \neq j}^n|a_{ij}|, \forall i=1,...,n$
• a predominanza diagonale debole per righe se:
  $|a_{ii}|\geq \sum\limits_{j=1, i \neq j}^n|a_{ij}|, \forall i=1,...,n$
• a predominanza diagonale in senso stretto per colonne se:
  $|a_{jj}|> \sum\limits_{i=1, i \neq j}^n|a_{ij}|, \forall j=1,...,n$
• a predominanza diagonale debole per colonne se:

$|a_{jj}| \geq \sum\limits_{i=1, i \neq j}^n|a_{ij}|, \forall j=1,...,n$

Proprietà delle matrici a dominanza diagonale

1. Se $A$ è simmetrica $\Rightarrow$  pdf per righe $\equiv$ pdf per colonne
2. Se $A$ è a pdf per colonne $\Rightarrow$ nel procedimento di eliminazione di Gauss non è necessario fare pivoting parziale.
3. L'algoritmo di Gauss è sempre stabile.
4. Se $A$ è a pdf:
1. $A$ non è singolare, cioè $|A| \neq 0$
2. Tutti i minori principali di testa di $A$ sono non nulli
3. $A$ è fattorizzabile in forma LU